Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c=5, √a √b √c=3. Tính giá trị biểu thức M = $\frac{\sqrt{a}}{a 2} \frac{\sqrt{b}}{b 2} \frac{\sqrt{c}}{c 2} - \frac{4}{\sqrt{(a 2)(b 2)(c 2)}}$Bà...

0

HN

Hoàng Nguyễn Nam

31 tháng 10 2019

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: a + b + c = $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$

Tính giá trị biểu thức M = $\frac{a+1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$

Come on!!!!!

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=5, √a+√b+√c=3. Tính giá trị biểu thức M = $\frac{\sqrt{a}}{a+2} + \frac{\sqrt{b}}{b+2} + \frac{\sqrt{c}}{c+2} - \frac{4}{\sqrt{(a+2)(b+2)(c+2)}}$Bài 2: Tìm các số thực $x\geq 0$ sao cho E = $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}$ nhận giá trị nguyênBài 3: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y-2}=2$ và $\sqrt{y+1}+\sqrt{z-3}=3$ và $\sqrt{z+5}+\sqrt{x+3}=5$Bài 4: CMR...

0

NA

Ngo Anh

4 tháng 7 2019

Câu hỏi hay

3

CV

cao van duc

4 tháng 7 2019

Bài 2 xét x=0 => A =0

xét x>0 thì $A=\frac{1}{x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}}$

để A nguyên thì $x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\inƯ\left(1\right)$

=>cho $x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}$bằng 1 và -1 rồi giải ra =>x=?

TP

Trần Phúc Khang

4 tháng 7 2019

1,Ta có $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}$

=> $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2$

$a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)$

$b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)$

$c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)$

=> $\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}+...$

=> $\frac{\sqrt{a}}{a+2}+...=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}$

=> M=0

Vậy M=0

NH

Nguyễn Hưng Phát

28 tháng 8 2016

Cho a , b , và c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

$P=\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c^2}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a^2}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b^2}}$

#Chuyên mục bất đẳng thức khởi động bước vào năm học mới#Bài toán 41: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn$a+b-c\ge0;b+c-a\ge0;c+a-b\ge0$và $\left(a+b+c\right)^2=4\left(ab+bc+ca-1\right)$Tìm GTNN của biểu thức $S=\sqrt{\frac{a+b}{c}-1}+\sqrt{\frac{b+c}{a}-1}+\sqrt{\frac{c+a}{b}-1}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2-2}}$Bài toán 46: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn$\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}=\sqrt{\frac{ab}{c}}$Tìm GTNN của...

0

KN

Kiệt Nguyễn

26 tháng 8 2020

2

TL

Tran Le Khanh Linh

26 tháng 8 2020

Bài toán số 41 có 2 cách làm, tôi làm cách thứ 2

Đặt $Q=\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}$$\Rightarrow Q^2=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+2\left(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\right)$ta thấy rằng $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\left(xy+yz+zx\right)$

$=\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+\frac{xyz}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $\sqrt{\frac{yx}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yx}{2\sqrt{\left(xy+yz\right)\left(yz+yx\right)}}\ge\frac{2xy}{2xy+yz+xz}\ge\frac{2xy}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy}{xy+yz+zx}$

Tương tự ta có $\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\ge\frac{yz}{xy+yz+zx}\\\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge\frac{xz}{xy+yz+zx}\end{cases}}$

$\Rightarrow\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge1$nên $Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+2}$

$\Rightarrow Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

Đặt $t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Rightarrow t\ge\sqrt{xy+yz+zx}=2$

Xét hàm số g(t)=$\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}+\frac{4}{t}\left(t\ge2\right)$khi đó ta có

$g'\left(t\right)=\frac{t}{2\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}}-\frac{4}{t^2};g'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^6-32t^2-256=0\Leftrightarrow t=2\sqrt{2}$

Lập bảng biến thiên ta có min[2;$+\infty$) $g\left(t\right)=g\left(2\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}$

Hay minS=$3\sqrt{2}$<=> a=c=1; b=2

TL

Tran Le Khanh Linh

26 tháng 8 2020

Đặt a=xc; b=cy (x;y >=1)

Thay x=1 vào giả thiết ta có $\sqrt{b-c}=\sqrt{b}\Rightarrow c=0$ (không thỏa mãn vì c>0)
Thay y=1 vào giả thiết ta có $\sqrt{a-c}=\sqrt{a}\Rightarrow c=0$( không thỏa mãn vì c>0)
Xét x,y>1 thay vào giả thiết ta có

$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y-2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=xy$

$\Leftrightarrow xy-x-y+1-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+1=0$

$\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}-1\right)^2=0$

$\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=1\Leftrightarrow xy=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge4$

Biểu thức P được viết lại như sau

$P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}$

$P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\frac{xy}{3}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2y^2-2xy}=\frac{x^3y^3-2x^2y^2+3xy-3}{3\left(x^2y^2-2xy\right)}$

Đặt t=xy với t>=4

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^3-2t^2+3t-3}{t^2-2t}\left(t\ge4\right)$

Ta có $f'\left(t\right)=\frac{t^4-4t^3+t^2+6t-6}{\left(t^2-2t\right)^2}=\frac{t^3\left(t-4\right)+6\left(t-4\right)+18}{\left(t^2-2t\right)^2}>0\forall t\ge4$

Lập bảng biến thiên ta có $minf\left(t\right)=f\left(4\right)=\frac{41}{8}$

Vậy $minP=\frac{41}{24}$khi x=y=z=2 hay a=b=2c

TK

Trương Khánh Hoàng

23 tháng 9 2017

a) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=2018 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2018}$ . Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{1}{a^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}$

b) Rút gọn biểu thức : $\frac{\sqrt{\sqrt{5}+2}\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

Nhờ các bn giải dùm !!!

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn các điều kiện $\left(a+c\right)\left(b+c\right)=4c^2$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức$P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}$Bài 2: Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 và $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của biểu thức $P=x^5+y^5+z^5$Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=1.$Tìm...

0

LT

Lê Tài Bảo Châu

25 tháng 10 2020

3

KN

Kiệt Nguyễn

25 tháng 10 2020

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: $P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3$Giả sử b là số nằm giữa a và c thì $\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc$$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2$

Ta sẽ chứng minh: $b\left(3-b\right)^2\le4$(*)

Thật vậy: (*)$\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0$(đúng với mọi $b\in[0;3]$)

Từ đó suy ra $\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5$

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị

KN

Kiệt Nguyễn

26 tháng 10 2020

Bài 1: Đặt $a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)$thì điều kiện giả thiết trở thành $\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4$

Khi đó $P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}$$=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}$

Có: $\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)$

Đặt $t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2$(do t > 0)

Lúc đó $P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}$với $2\le t< 3$

Vậy $MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}$đạt được khi $t=\sqrt{6}$hay (x; y) là nghiệm của hệ $\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}$

Ta lại có $P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1$(do $2\le t< 3$)

Vậy $MaxP=1$đạt được khi t = 2 hay x = y = 1

TN

Thảo Nguyên Xanh

11 tháng 10 2017

1. với các số thực dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

tìm giá trị lớn nhất cùa biểu thức $P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{a^2-ac+c^2}}$

1

AN

alibaba nguyễn

11 tháng 10 2017

Ta có:

$P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}$

$=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(b+c\right)^2+\frac{3}{4}\left(b-c\right)^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(c+a\right)^2+\frac{3}{4}\left(c-a\right)^2}}$

$\le2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)$

$\le2.\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)$

$=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

DL

Đức Lộc

15 tháng 1 2020

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: $\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}=\sqrt{a+b}$

Tính giá trị của biểu thức: $P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}$

0

NM

NGUYỄN MINH HUY

15 tháng 3 2021

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=ab+bc+ac. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a^2}{a^2+3bc}+\frac{b^2}{b^2+3ac}+\frac{c^2}{c^2+3ab}+\sqrt{a+b+c}$

#Toán lớp 11

1

E

Etermintrude💫

15 tháng 3 2021

undefined